Уроженец Бреста, старший сын заслуженного тренера и талантливого наставника молодежи Анатолия Петровича Мешкова. Вместе с братом Сергеем в память об отце в 2002 году Александр Мешков учредил в Бресте гандбольный клуб, сразу вошедший в число клубных гандбольных флагманов Европы. Сейчас он называется «Мешков Брест». 8 апреля 2019 года избран главой Наблюдательного совета ОАО «Газпром трансгаз Беларусь».